A Caminho do Jaleco

20 julho 2015

Porcentagem parte II

Acréscimos e reduções percentuais

Veja outro exemplo:

O valor de uma passagem aérea sofreu um aumento de 15%, passando a custar
R$ 805,00. Vamos determinar o valor da passagem aérea antes do aumento.

Como se trata de um valor desconhecido, chamaremos de x o valor da passagem antes do aumento.

Note que R$ 805,00 representa o valor da passagem já com o aumento de 15%, portanto, R$ 805,00 é igual a 115% de x.

Sendo assim, temos:

$115\%\,\,\mathrm{de}\,\,x=805\Rightarrow \frac{115}{100}\cdot x=805\Rightarrow x= \frac{805\cdot 100}{115}\Rightarrow x=700$

Portanto, a passagem aérea custava R$ 700,00 antes do aumento.

Também podemos encontrar o preço da passagem utilizando uma regra de três simples:

$\\805\,\,\mathrm{reais}\,\,\overline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\,\,115\%\\ x\,\,\mathrm{reais}\,\,\overline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\,\,100\%$ $\\\Rightarrow x\cdot 115=805\cdot100\Rightarrow x=\frac{80500}{115}\Rightarrow x=700\,\,\mathrm{reais}$

Mais um exemplo:

O preço de uma mercadoria no mês de janeiro era de R$ 400,00. Em fevereiro, sofreu um aumento de 10% e, em março, outro aumento de 10%. Vamos determinar o valor dessa mercadoria em março.

Janeiro	Fevereiro	Março
$400\,\,\mathrm{reais}$	$1,10\boldsymbol{\cdot} 400=440\,\,\mathrm{reais}$	$1,10\boldsymbol{\cdot} 440=484\,\,\mathrm{reais}$

Note que 1,10 = 110%.

Atenção

Observe que dois aumentos sucessivos de 10% não são o mesmo que um único aumento de 20%.

Para aprimorar

Para uma sessão de cinema, foram vendidos antecipadamente 120 ingressos, dos quais 20% eram meias-entradas e os demais eram entradas inteiras. No momento da sessão, foram vendidos mais x ingressos, todos do tipo meia-entrada, passando a representar 25% do total.

Vamos determinar a quantidade x.

Quantidade de meias-entradas vendidas antecipadamente:

$20\%\,\,\mathrm{de}\,\,120=\frac{20}{100}\cdot120=24$

Como foram vendidas mais x meias-entradas, passamos a ter:

24 + x (quantidade de meias-entradas)

120 + x (quantidade total de entradas vendidas)

Assim temos:

$\\\\25\%\,\,\mathrm{de}\,\,(120+x)=24+x\Rightarrow \frac{25}{100}\cdot(120+x)=24+x\Rightarrow$ $\\25\cdot(120+x) =100\cdot(24+x)\Rightarrow$
$3000+25x=2400+100x\Rightarrow 100x-25x=3000-2400\Rightarrow$ $75x=600\Rightarrow x=\frac{600}{75}\Rightarrow x=8$

Com base nos cálculos, podemos verificar que foram vendidas mais 8 meias-entradas, totalizando 32 meias-entradas, as mesmas 96 entradas inteiras e um total de 128 entradas para a sessão.

Finalizando

Recordando os pontos principais desta aula:

1

Porcentagem é uma fração com denominador igual a 100.É representada pelo
símbolo % (por cento). Assim, para qualquer número real p, temos:
$p\%=\frac{p}{100}$
Também pode ser representada por números decimais:
$p\%=0,01p$
2

Para efetuar cálculos com porcentagem, podemos utilizar sua representação
na forma fracionária, decimal ou utilizar uma regra de três simples.
3

Para determinar quantos por cento o número a representa do número b, podemos
proceder da seguinte maneira:
$a=x\%\,\,\mathrm{de}\,\,b\Rightarrow a=\frac{x}{100}\cdot b\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{x}{100}\Rightarrow \frac{a}{b}=x\%$

As reduções podem ser calculadas da seguinte forma:

Redução Aplicar redução em 200

10% $0,90\boldsymbol{\cdot} 200=180$

20% $0,80\boldsymbol{\cdot} 200=160$

25% $0,75\boldsymbol{\cdot} 200=150$

50% $0,50\boldsymbol{\cdot} 200=100$

Calcular a redução de um valor x de 10% é o mesmo que multiplicá-lo por 0,90.

Calcular a redução de um valor x de 20% é o mesmo que multiplicá-lo por 0,80.

Calcular a redução de um valor x de 25% é o mesmo que multiplicá-lo por 0,75.

Calcular a redução de um valor x de 50% é o mesmo que multiplicá-lo por 0,50

Podemos calcular acréscimos da seguinte forma:

Acréscimo Aplicar acréscimo em 200

10% $1,10\boldsymbol{\cdot} 200=220$

20% $1,20\boldsymbol{\cdot} 200=240$

25% $1,25\boldsymbol{\cdot} 200=250$

50% $1,50\boldsymbol{\cdot} 200=300$
Calcular o aumento de um valor x de 10% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,10.

Calcular o aumento de um valor x de 20% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,20.

Calcular o aumento de um valor x de 25% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,25.

Calcular o aumento de um valor x de 50% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,50.

Redução	Aplicar redução em 200
10%	$0,90\boldsymbol{\cdot} 200=180$
20%	$0,80\boldsymbol{\cdot} 200=160$
25%	$0,75\boldsymbol{\cdot} 200=150$
50%	$0,50\boldsymbol{\cdot} 200=100$

Acréscimo	Aplicar acréscimo em 200
10%	$1,10\boldsymbol{\cdot} 200=220$
20%	$1,20\boldsymbol{\cdot} 200=240$
25%	$1,25\boldsymbol{\cdot} 200=250$
50%	$1,50\boldsymbol{\cdot} 200=300$

Porcentagem - Parte I

Porcentagem é uma fração centesimal, ou seja, com denominador igual a 100.

É representada pelo símbolo % (por cento). Assim, para qualquer número real p, temos:

${\color{Teal} p\%=\frac{p}{100}}$
A porcentagem também pode ser representada por números decimais:

${\color{Teal} p\%=0,01p}$

Veja alguns exemplos:

$12\%=\frac{12}{100}= 0,12$ ^{^{(lê-se: 12 por cento)

^{^{(lê-se: 25 por cento)}}

^{^{(lê-se: 3 por cento)}}

^{^{(lê-se: 100 por cento)}}}}

Como calcular?

Uma das maneiras para efetuar cálculos com porcentagens é utilizando sua representação na forma fracionária.

Veja um exemplo:

O percentual de etanol na composição de gasolina, que era de 20%, passou a ser de 25%. Vamos calcular quantos litros de etanol são utilizados para se obter 500 litros de gasolina. Temos:

$25\% \, \, \mathrm{de}\, \, 500\,\,\mathrm{L}=\frac{25}{100}\cdot500=125\, \, \mathrm{L}$
* Lembre-se de que devemos substituir a palavra “de” pela operação de multiplicação.
Dessa forma, para se obter 500 litros de gasolina são utilizados 125 litros de etanol.

Também podemos efetuar cálculos com porcentagens utilizando uma regra de três simples ou utilizando a representação da porcentagem na forma decimal.

Regra de três simples:

$\\500\, \mathrm{litros}\,\,\overline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\,\, 100\%\ \\x\, \mathrm{litros}\,\,\overline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\,\,25\%$ $\\\Rightarrow x\cdot 100=500 \cdot 25\Rightarrow x=\frac{12500}{100}\Rightarrow x=125\,\,\mathrm{litros}$

Representação da porcentagem na forma decimal:

$25\%\:\,\mathrm{de}\,\,500\:\,\mathrm{litros}=0,25\cdot500=125\,\,\mathrm{litros}$

Percentual de um número em relação a outro

Para determinar quantos por cento o número a representa do número b, podemos proceder da seguinte maneira:

${\color{Teal}a=x\%\:\,\mathrm{de}\,\,b\Rightarrow a=\frac{x}{100}\cdot b\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{x}{100}\Rightarrow\frac{a}{b}=x\%}$

Veja um exemplo:

Em um grupo de 50 estudantes, 15 frequentam o curso de inglês regularmente. Vamos calcular a porcentagem que esses estudantes representam em relação ao total:

$\frac{15}{50}= 0,30= \frac{30}{100}= 30\%$

Portanto, 30% dos estudantes desse grupo frequentam regularmente o curso de inglês

Também podemos encontrar o percentual de um número em relação a outro utilizando uma regra de três simples ou uma equação.

Regra de três simples:

$\\50\,\,\mathrm{estudantes}\,\,\,\overline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\,\,\,100\%\\15 \,\,\mathrm{estudantes}\,\,\,\overline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\,\,\,x\%$ $\Rightarrow 50\cdot x=15\cdot 100\Rightarrow x=\frac{1500}{50}\Rightarrow x=30\%$

Equação:

$x\%\,\,\,\mathrm{de}\,\,50=15\Rightarrow \frac{x}{100}\cdot50=15\Rightarrow x=\frac{15\cdot100}{50}\Rightarrow x=\frac{1500}{50}\Rightarrow$

Acréscimos e reduções percentuais

Efetuar o aumento de um valor $x$ de $p\%$ é o mesmo que multiplicar esse valor por $(100+p)\%$ , pois:

$\color{Teal}x+p\%\,\,\mathrm{de}\,\,x=x+\frac{p}{100}\cdot x=\left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot x=\left(\frac{100+p}{100}\right) \cdot$ $\color{Teal} x=(100+p)\%\,\,\,\mathrm{de}\,\,\,x$ Sendo assim, uma mercadoria que custava R$ 400,00 e sofreu um aumento de 20% passou a custar R$ 480,00, pois:

$(100+20)\%\,\,\mathrm{de}\,\,400=120\%\,\,\mathrm{de}\,\,400=\frac{120}{100}\cdot400=480$

Para determinar o aumento, também podemos encontrar 20% de R$ 400,00 e, depois, somar o valor encontrado a R$ 400,00.

$20\%\,\,\mathrm{de}\,\,400=\frac{20}{100}\cdot400=80$

Daí, temos:

$\mathrm{R}\$ \,\,400,00 +\mathrm{R}\$\,\,80,00=\mathrm{R}\$\,\,480,00$

De forma análoga, descontar um valor $x$ de $p\%$ é o mesmo que multiplicar esse valor por ${(100-p)\%}$ , pois:

$\color{Teal}x-p\%\,\,\mathrm{de}\,\,x=x-\frac{p}{100}\cdot x=\left ( 1-\frac{p}{100} \right )\cdot x=\left ( \frac{100-p}{100} \right )\cdot$ $\color{Teal}x=(100-p)\%\,\,\mathrm{de}\,\,x$

Sendo assim, uma mercadoria que custava R$ 480,00 e sofreu um desconto de 20% passou a custar R$ 384,00, pois:

$(100-20)\%\,\,\mathrm{de}\,\,480=80\%\,\,\mathrm{de}\,\,480=\frac{80}{100}\cdot480=384$

Para determinar o desconto, também podemos encontrar 20% de R$ 480,00 e, depois, subtrair o valor encontrado de R$ 480,00.
$20\%\,\,\mathrm{de}\,\,480=\frac{20}{100}\cdot480=96$

Daí, temos:

$\mathrm{R}\$\,\, 480,00 -\mathrm{R}\$\,\,96,00=\mathrm{R}\$\,\,384,00$

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20 julho 2015

Porcentagem parte II

Acréscimos e reduções percentuais

Para aprimorar

Finalizando

Porcentagem - Parte I

Como calcular?

Percentual de um número em relação a outro

Acréscimos e reduções percentuais

Atenção

Note que se uma mercadoria que custa x sofrer um aumento de p%, sucedido de um desconto do mesmop%, não volta a custar o mesmo x.

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Porcentagem parte II

Acréscimos e reduções percentuais

Para aprimorar

Finalizando

Porcentagem - Parte I

Como calcular?

Percentual de um número em relação a outro

Acréscimos e reduções percentuais

Atenção Note que se uma mercadoria que custa x sofrer um aumento de p%, sucedido de um desconto do mesmop%, não volta a custar o mesmo x.

Atenção

Note que se uma mercadoria que custa x sofrer um aumento de p%, sucedido de um desconto do mesmop%, não volta a custar o mesmo x.