A Caminho do Jaleco : Porcentagem parte II

Acréscimos e reduções percentuais

Veja outro exemplo:

O valor de uma passagem aérea sofreu um aumento de 15%, passando a custar
R$ 805,00. Vamos determinar o valor da passagem aérea antes do aumento.

Como se trata de um valor desconhecido, chamaremos de x o valor da passagem antes do aumento.

Note que R$ 805,00 representa o valor da passagem já com o aumento de 15%, portanto, R$ 805,00 é igual a 115% de x.

Sendo assim, temos:

$115\%\,\,\mathrm{de}\,\,x=805\Rightarrow \frac{115}{100}\cdot x=805\Rightarrow x= \frac{805\cdot 100}{115}\Rightarrow x=700$

Portanto, a passagem aérea custava R$ 700,00 antes do aumento.

Também podemos encontrar o preço da passagem utilizando uma regra de três simples:

$\\805\,\,\mathrm{reais}\,\,\overline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\,\,115\%\\ x\,\,\mathrm{reais}\,\,\overline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\,\,100\%$ $\\\Rightarrow x\cdot 115=805\cdot100\Rightarrow x=\frac{80500}{115}\Rightarrow x=700\,\,\mathrm{reais}$

Mais um exemplo:

O preço de uma mercadoria no mês de janeiro era de R$ 400,00. Em fevereiro, sofreu um aumento de 10% e, em março, outro aumento de 10%. Vamos determinar o valor dessa mercadoria em março.

Janeiro	Fevereiro	Março
$400\,\,\mathrm{reais}$	$1,10\boldsymbol{\cdot} 400=440\,\,\mathrm{reais}$	$1,10\boldsymbol{\cdot} 440=484\,\,\mathrm{reais}$

Note que 1,10 = 110%.

Atenção

Observe que dois aumentos sucessivos de 10% não são o mesmo que um único aumento de 20%.

Para aprimorar

Para uma sessão de cinema, foram vendidos antecipadamente 120 ingressos, dos quais 20% eram meias-entradas e os demais eram entradas inteiras. No momento da sessão, foram vendidos mais x ingressos, todos do tipo meia-entrada, passando a representar 25% do total.

Vamos determinar a quantidade x.

Quantidade de meias-entradas vendidas antecipadamente:

$20\%\,\,\mathrm{de}\,\,120=\frac{20}{100}\cdot120=24$

Como foram vendidas mais x meias-entradas, passamos a ter:

24 + x (quantidade de meias-entradas)

120 + x (quantidade total de entradas vendidas)

Assim temos:

$\\\\25\%\,\,\mathrm{de}\,\,(120+x)=24+x\Rightarrow \frac{25}{100}\cdot(120+x)=24+x\Rightarrow$ $\\25\cdot(120+x) =100\cdot(24+x)\Rightarrow$
$3000+25x=2400+100x\Rightarrow 100x-25x=3000-2400\Rightarrow$ $75x=600\Rightarrow x=\frac{600}{75}\Rightarrow x=8$

Com base nos cálculos, podemos verificar que foram vendidas mais 8 meias-entradas, totalizando 32 meias-entradas, as mesmas 96 entradas inteiras e um total de 128 entradas para a sessão.

Finalizando

Recordando os pontos principais desta aula:

1

Porcentagem é uma fração com denominador igual a 100.É representada pelo
símbolo % (por cento). Assim, para qualquer número real p, temos:
$p\%=\frac{p}{100}$
Também pode ser representada por números decimais:
$p\%=0,01p$
2

Para efetuar cálculos com porcentagem, podemos utilizar sua representação
na forma fracionária, decimal ou utilizar uma regra de três simples.
3

Para determinar quantos por cento o número a representa do número b, podemos
proceder da seguinte maneira:
$a=x\%\,\,\mathrm{de}\,\,b\Rightarrow a=\frac{x}{100}\cdot b\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{x}{100}\Rightarrow \frac{a}{b}=x\%$

As reduções podem ser calculadas da seguinte forma:

Redução Aplicar redução em 200

10% $0,90\boldsymbol{\cdot} 200=180$

20% $0,80\boldsymbol{\cdot} 200=160$

25% $0,75\boldsymbol{\cdot} 200=150$

50% $0,50\boldsymbol{\cdot} 200=100$

Calcular a redução de um valor x de 10% é o mesmo que multiplicá-lo por 0,90.

Calcular a redução de um valor x de 20% é o mesmo que multiplicá-lo por 0,80.

Calcular a redução de um valor x de 25% é o mesmo que multiplicá-lo por 0,75.

Calcular a redução de um valor x de 50% é o mesmo que multiplicá-lo por 0,50

Podemos calcular acréscimos da seguinte forma:

Acréscimo Aplicar acréscimo em 200

10% $1,10\boldsymbol{\cdot} 200=220$

20% $1,20\boldsymbol{\cdot} 200=240$

25% $1,25\boldsymbol{\cdot} 200=250$

50% $1,50\boldsymbol{\cdot} 200=300$
Calcular o aumento de um valor x de 10% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,10.

Calcular o aumento de um valor x de 20% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,20.

Calcular o aumento de um valor x de 25% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,25.

Calcular o aumento de um valor x de 50% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,50.